Моделирование бокового движения

Боковое движение по первичным и вторичным параметрам. Анализ структуры векторного уравнения бокового собственного движения само­лета (2.111) показывает возможность его дальнейшего упрощения. Это связано с тем, что первые пять параметров бокового движения (прираще­ния угловых’скоростей крена Асох и рыскания Асау, углов скольжения Ар, крена Ау и рыскания Ау) не зависят от последних двух параметров бокового движения (приращений угла пути А’Р и бокового отклонения Az). Обозначим первые пять параметров вектора хб через х61:

[x6i(l)]T = [Awx(t) 4<»y(t) AP(t) Ay(t) Ay(t)] (4.1)

и назовем вектором-столбцом первичных параметров состояния бокового движения. Обозначим последние два параметра вектора х6 через х62, причем [x62(t)]T = [ А*Р (/) AZ (t) ] и назовем вектором-столбцом вторичных параметров состояния бокового движения.

Тогда собственное боковое движение самолета по первичным пара­метрам описывается уравнением

хбі № Леї хбі № ■ (4.2)

Матрица состояния бокового движения самолета по первичным пара­метрам

а<о,.Р о 0 а о 0 о ам, ам а P. Y 0 aY,<e, 0 о О 0 о ау, ш, о о 0

(4.3)

А61

 

Уравнение (4.2) описывает собственное боковое возмущенное движение самолета, возникновение которого обусловлено начальными возмуще­ниями Асо°, Асо°, АР°, Лу°, А|/° .

Собственное боковое движение самолета по вторичным параметрам описывается уравнением

*62 (t) = А62 х62 (I) + Bh Uh (t), (4.4)

V ‘

А»*

где U6] (t) — вектор входа по управляющим воздействиям в виде изменения первичных параметров (uei(I) = х61 (t)).

Матрица входа по управляющим воздействиям первичных параметров

Уравнение (4.4) описывает собственное боковое возмущенное движение самолета, возникновение которого обусловлено начальными возмуще­ниями АЧ*0 и to.0-, а также вынужденное движение самолета по вторичным параметрам, вызванное изменением первичных параметров. Быстрое и медленное боковое движение. Применим к уравнению (4.2) преобразование Лапласа (pi — Аб1)Х61 (Р) =0- (4.7) Характеристический определитель уравнения (4.6) имеет вид: (Р_ ав), ,(й,) «Ч. р 0 0 а<й,.’Сйт (Р — — ар. р 0 0 А(р) = 0 — ам, (Р — ам) ~ ар, у 0 (4.8) 0 0 Р 0 0 — 0 0 р

Раскрыв определитель и приравняв его нулю, получим характеристи­ческое уравнение

р(А‘р4 + А’р3 + А*р2 + А’р + А60) = 0. (4.9)

Коэффициенты уравнения определяются следующим образом:

А® = 1,

■ + Fz);
(асо.,йї. + со. + ago)	(МГ — +М?

^2 — аюж, ю, &ау, а>т + <*р, р ^ю.,,а>х + ^р, р &в>у, а>у ®р, юу *^р ®tfrytttT **с0ч+й)у

= м“-й“- +р? м:- + f’h?—F* — й?-йГ’,

И* 10)

^р, р ^(o„fo, **шу, юу + ^р, р ^о)у, о)ж ^а>1,соу

^Р, Шу ^-0)у,(0х ^-G)s, p ^P, Y ^Y*®x ^<ЙЖ, Р

— ^P, Y ^Юк’Юу ^P*P

= — F? Я?-Я? + Fg Я?-Й?. + Fg Я?* — M“-Mf — M? F£,

Характеристическое уравнение (4.9) имеет пять корней. Один корень равен нулю (Х5 = 0). Среди четырех других, как показывает практика расчетов, имеются два действительных и Х2) и два комплексных сопряженных (Хъ и Я,4) корня. ■

Наличие нулевого корня обусловлено нейтральностью неуправляемого самолета по рысканию. Этот корень для исследования динамики бокового движения самолета принципиального значения не имеет. Значение и знак четырех других корней существенным образом влияют на структуру бо­кового движения. .

Обычно один из действительных корней по модулю значительно больше другого (| Х2 | » | Х2 I )• Большому действительному корню Х2 соответствует быстрое креновое движение. Это движение является апериодическим. Ма­лому вещественному корню Х2 соответствует медленное спиральное боко­вое движение по крену и рысканию. Это движение также является аперио­дическим.

Паре комплексных сопряженных корней Х, э и Х4 соответствует быстрое колебательное короткопериодическое движение. Оно обусловлено тем, что при возникновении возмущения отрицательный угол крена приводит к скольжению на левое полукрыло, в результате чего появляется положи­тельный момент крена М*ДР и самолет начинает крениться в обратную сторону — появляется «голландский шаг».

Таким образом, боковое движение самолета состоит из двух аперио­дических и одного колебательного движения, причем одно апериодическое и колебательное движение является быстрым, а второе апериодическое — медленным. При исследовании динамики бокового движения медленным

спиральным движением часто пренебрегают. Если Я*’, Я“у и F£ малы, то

аш„ю, = 0, аШг, ш, = 0 и ар у = 0. Тогда собственное быстрое боковое движение самолета описывается уравнением

*бв№ =A66 x66(t). (4.11)

Вектор параметров состояния быстрого бокового движения [>бб(1)]Т = [A<Mt) Дюу(1) AP(t) Ay(t)] .

Матрица состояния быстрого бокового движения

0 00

д ® аіо,,ш, аю,,Р ®

66 0 аРч арр о

L ат>И( 0 О О J Общее решение уравнения (4.11) имеет вид:

Aox(t) = Аш<е-х-‘+ А^е-^*+ А^е h<tsm(v/<»i — hjf + ф^),

Асо (t) = Affl;е~х>‘ + А" е-М + А"(е-Vsin^wi — h|t +<pm),

‘ ‘ ‘ ’ (4.14)

A(3(t) = Аре_х‘‘ + АрЄ_Лі‘ + Ap’e-tl«,sin(4/©F^-"hlt + фр),

Ay(t) = Aye_1-it + A" e“^‘ + A"’e_h<tsin(4/roj? — h| t + (р! Д.

Здесь постоянные A" , A^, ‘ , ‘ Шу, *"r, ф Ap, Ap,

Ар, ф’р, Ay, A", A™, cpY определяются из начальных условий.

Траєкторнеє боковое движение. Для получения модели бокового траєк­торного движения самолета примем следующее допущение. Пусть разво­роты самолета совершаются координированно без скольжения. Тогда при ДР = 0иД£ = 0 из третьего и пятого уравнений системы уравнений (2.111) получим А у = — арлАу. Вектор параметров траєкторного бокового дви­жения x6l(t) сформируем из первичного параметра-приращения угла рыскания А|/ и вектора вторичных параметров х62 (t):

f’ ОбЛОГ « [Д¥Ю ДЧЧО Az(D]. (4.15)

Траекторные параметры Ау, АТ* и Az зависят теперь только от пара­метров быстрого бокового движения, поэтому траекторное боковое дви­жение самолета можно описать уравнением ■

*6l(t) = A^x^d) + B^uMt), (4.16)

где u£T (t) — вектор входа по управляющим воздействиям в виде изменения пара­метров быстрого бокового движения (uJT(t) = xw(t)).

Матрица состояния • бокового траекторного движения

ООО ООО аг, ч — О 0′

Матрица входа параметров состояния бокового траекторного движения по управляющим воздействиям параметров быстрого бокового движения

О	О	0	а0.ї
О	О		ат, ї	. (4.18)
о	о	0	0

Уравнение (4.16) описывает собственное боковое траекторное движение самолета, возникновение которого обусловлено начальными возмуще­ниями Д|/°, АЧ*0 и Az°, а также вынужденное траекторное движение самолета, вызванное изменением параметров быстрого бокового движения.